数学的一个分支由它所研究的结构（structure）与保持该结构的变换（transformation）共同定义。欧氏几何研究在刚体运动（rigid motion）——平移与旋转——下保持不变的量：长度、角度、面积。在坐标系中，这些量的分量会随坐标变化，但量本身不变。

微分几何（differential geometry）把这一观点推广到弯曲的空间：它用微积分研究局部近似为欧氏空间的几何对象，并寻找不依赖于坐标选取的量。一个量若只是某一坐标系下的巧合，它就不是几何；几何陈述必须能写成坐标无关（coordinate-free）的形式。

一个曲面可以从两个角度考察。其一，把它放在环境空间 $\mathbb{R}^3$ 中，问它如何弯曲与折叠——这是外蕴的观点。其二，只允许一个二维生物沿曲面测量长度、角度与面积，问它能得到什么——这是内蕴的观点。

两种观点在 1828 年被 Gauss 的绝妙定理（Theorema Egregium，第 8 讲）统一：曲面的 Gauss 曲率（Gauss curvature）虽然从外蕴定义，却只由曲面自身的度量决定，不离开曲面即可测得。一张纸可以卷成圆筒而不拉伸，纸上的内蕴几何因此不变；圆筒的内蕴曲率处处为零，尽管它在 $\mathbb{R}^3$ 中看起来是弯的。

全书由四个概念逐次建立：

• 度量（metric）：逐点给定的内积，定义长度、角度、体积与距离，是内蕴几何的原始数据。
• 联络（connection）：规定向量如何沿曲线与方向被平行移动，使"求导"在弯曲空间上成立。
• 曲率（curvature）：度量平行移动绕闭合回路后的偏差，是几何非平坦性的度量。
• 对称（symmetry）：保持度量的变换；高度对称的空间（常曲率空间、对称空间）是可精确计算的原型。

它们之间的逻辑顺序是：度量诱导唯一的自然联络（Levi-Civita 联络，第 23 讲），联络决定曲率（第 25 讲），曲率反过来约束空间的对称与拓扑（第 26、27 讲）。

微分几何同时使用两种语言。坐标无关语言给出定义与定理，揭示概念的几何本质；指标语言（index notation，附录 D）给出计算与证明，二者必须能互相翻译。建议每学一个概念，先问"它在坐标变换下如何变化"，再问"它在某组坐标下的分量是什么"。

本书的约定：标量与变量用斜体，向量用粗体，微分算子与函数名用正体；关键公式加编号，推导逐步给出；每讲末附习题，参考答案在题下折叠区。

设 $I\subset\mathbb{R}$ 为区间，$k\geq 1$。一个参数曲线（parametric curve）是光滑映射

同一几何曲线可以有无穷多参数化。若 $\phi:J\to I$ 是光滑双射且 $\phi'(u)\neq 0$，则 $\tilde\gamma=\gamma\circ\phi$ 是重新参数化（reparametrization）。$\phi'>0$ 保持定向（同向），$\phi'<0$ 反转定向。几何性质必须在重参数化下保持不变。

沿曲线从 $t_0$ 到 $t$ 的弧长（arc length）定义为

由于正则性给出 $\lVert\gamma'\rVert>0$，函数 $s(t)$ 严格递增、可逆。以 $s$ 为参数得到 $\gamma$ 的弧长参数化（arc length parametrization），记

设 $\gamma$ 为单位速率曲线。定义单位切向量（unit tangent）$T(s)=\gamma'(s)$，并将其逆时针旋转 $90^\circ$ 得单位法向量（unit normal）

求导 $N=JT$ 得 $N'=JT'=-\kappa T$，合为二维 Frenet 公式（Frenet formulas）：

设 $\theta(s)$ 为 $T$ 与 $x$ 轴的夹角，$T=(\cos\theta,\sin\theta)$，则

对任意参数 $t$，由链式法则可得曲率的分量公式：

构造性证明。由 $\kappa=\theta'$，取

这一定理把"形状"完全归结为一个标量函数 $\kappa(s)$：曲线是直是弯、弯多少、在何处转弯，全部编码其中。

设 $I\subset\mathbb{R}$ 为区间。一个空间曲线是光滑映射 $\gamma:I\to\mathbb{R}^3$，写作 $\gamma(t)=\big(x(t),y(t),z(t)\big)$。正则条件仍为 $\gamma'(t)\neq 0$。弧长参数化的构造与第 1 讲完全相同：$s(t)=\int_{t_0}^t\lVert\gamma'(u)\rVert\,\mathrm{d}u$，此后一律取弧长 $s$ 为参数，故 $\lVert\gamma'(s)\rVert=1$。

在弧长参数下定义单位切向量 $T(s)=\gamma'(s)$。因 $\lVert T\rVert=1$，有 $T\cdot T'=0$，即 $T'$ 与 $T$ 垂直。若 $T'\neq 0$，定义

已经有 $T'=\kappa N$。标架中其余两个向量的导数由 $\{T,N,B\}$ 的标准正交性决定。由 $B=T\times N$ 求导：

对任意参数 $t$，消去弧长参数可得两个计算的核心公式：

$\kappa=\lVert T'\rVert$ 度量切向在密切平面内的转动速率，与平面曲线曲率同义；它恒非负，弯曲的方向已由 $N=T'/\kappa$ 的选取承担。挠率 $\tau$ 由 $B'=-\tau N$ 定义：$B$ 是密切平面的法向量，$B'\neq 0$ 恰说明密切平面沿曲线在翻转。$\tau>0$ 时曲线右螺旋扭转，$\tau<0$ 时左螺旋扭转，$\tau=0$ 时密切平面恒定、曲线落在某一平面内。

证明路线。Frenet 公式 (2.1) 是关于向量值函数 $(T,N,B)$ 的线性常微分方程组，由常微分方程存在唯一性（附录 E.1），给定初值标架有唯一解。该方程组的系数矩阵反对称，解自动保持标准正交（见习题 2.18）。再积分 $\gamma(s)=\gamma_0+\int_0^s T(u)\,\mathrm{d}u$ 即得曲线。初值 $(\gamma_0,\{T_0,N_0,B_0\})$ 的自由度正是刚体运动的自由度（三个平移、三个旋转）。

与第 1 讲对照：平面曲线由一个函数 $\kappa(s)$ 决定形状；空间曲线由两个函数 $\kappa(s),\tau(s)$ 决定。挠率是离开平面后新出现的几何不变量，它是平面内完全不存在的自由度。

设 $U\subset\mathbb{R}^2$ 为开集。一个参数曲面片（parametrized surface patch）是光滑映射

切平面是曲面在 $p$ 点的一阶线性逼近：曲面上过 $p$ 的任一条曲线 $\alpha(t)=X(u(t),v(t))$，其速度 $\alpha'(t)=u'X_u+v'X_v$ 必落在切平面内。正则性保证切平面唯一定义。

把环境空间 $\mathbb{R}^3$ 的欧氏内积限制到切平面上，得到切空间上的一个内积。对切向量 $\mathbf{v}=aX_u+bX_v$，定义其长度平方为

它直接给出三个内蕴量。长度：曲面上曲线 $\alpha(t)=X(u(t),v(t))$ 的弧长为

一切只由 $E,F,G$ 及其导数决定的量（长度、角度、面积、以及第 8 讲的 Gauss 曲率）称为内蕴量（intrinsic quantity）；依赖曲面在 $\mathbb{R}^3$ 中朝向的量（如第 4 讲的第二基本形式）称为外蕴量。一个被限制在曲面上的二维生物，用软尺与量角器能测到的全部就是内蕴几何。

若作重参数化 $(u,v)=\phi(\tilde u,\tilde v)$，第一基本形式作为二次型按变量替换法则变换：新系数矩阵为 $\tilde g=J^T g J$，其中 $J$ 是 $\phi$ 的 Jacobi 矩阵。长度、角度、面积元作为二次型的几何量在变换下保持数值，这正是它们被称为"不变量"的原因。

正则曲面片 $X(u,v)$ 在每点有单位法向量

因混合偏导可交换 $X_{uv}=X_{vu}$，$f$ 的定义自动对称。对 $\mathbf{n}\cdot X_u=0$ 求导可得等价写法 $e=-\mathbf{n}_u\cdot X_u$（见习题 4.17），这在第 5 讲讨论 Weingarten 映射时有用。

取曲面上一条单位速率曲线 $\alpha(s)$，$\alpha(0)=p$，单位切向量 $\mathbf{v}=\alpha'(0)$。对 $\alpha'(s)\cdot\mathbf{n}=0$ 求导：

几何上，用过 $\mathbf{n}$ 与 $\mathbf{v}$ 的平面截取曲面，得到一条法截线（normal section）；$k_n(\mathbf{v})$ 就是这条平面曲线在 $p$ 点的（带符号）曲率。$k_n>0$ 曲线朝 $\mathbf{n}$ 一侧弯，$k_n<0$ 朝另一侧弯。

法曲率 $k_n(\mathbf{v})$ 是单位切圆上的连续函数，必有最大值与最小值。在切平面内取正交基使二次型 $\mathrm{II}$ 对角化（附录 A.3 谱定理），即存在两个正交单位方向 $\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2$ 使

推导。在主基下 $\mathbf{v}=\cos\theta\,\mathbf{e}_1+\sin\theta\,\mathbf{e}_2$，对角化后 $\mathrm{II}(\mathbf{e}_i,\mathbf{e}_j)=\kappa_i\delta_{ij}$，代入 (4.2) 即得 (4.4)。

第二基本形式是外蕴数据：它依赖曲面在 $\mathbb{R}^3$ 中的具体嵌入，翻转单位法向量时 $e,f,g$ 整体变号。平面卷成圆柱时，第一基本形式不变（第 3 讲），但第二基本形式从全零变为非零——纸上的二维生物测不到这个变化，它需要"离开曲面"才能察觉。

把二次型 $\mathrm{II}$ 看作从切向量到切向量的线性算子，正是下一讲的形状算子（shape operator）：它的特征值就是主曲率 $\kappa_1,\kappa_2$，其行列式给出 Gauss 曲率、迹之半给出平均曲率。第一基本形式负责内蕴几何，第二基本形式负责外蕴弯曲，二者在下一讲合流。

正则曲面 $S$ 在每点有单位法向量 $\mathbf{n}(p)$。把这个对应整体化：

几何上，曲面在环境空间中"弯得越厉害"，单位法向随点走得越快，$\mathrm{d}N$ 的尺度就越大。Gauss 映射把局部弯曲"读数"到一个单位球面上。

回忆第 4 讲 $e=-\mathbf{n}_u\cdot X_u$、$f=-\mathbf{n}_u\cdot X_v=-\mathbf{n}_v\cdot X_u$、$g=-\mathbf{n}_v\cdot X_v$。而 $\mathbf{n}_u=\mathrm{d}N(X_u)$，$\mathbf{n}_v=\mathrm{d}N(X_v)$，故

自伴性。对任意切向量 $\mathbf{v},\mathbf{w}$，

设形状算子 $S$ 的两个实特征值为 $\kappa_1,\kappa_2$。它们正是第 4 讲的主曲率：在特征方向上 $\mathrm{II}(\mathbf{e}_i,\mathbf{e}_i)=\kappa_i I(\mathbf{e}_i,\mathbf{e}_i)$。

$K$ 的符号分类曲面的局部形态：$K>0$ 两点主曲率同号（椭圆点，如球面）；$K<0$ 反号（双曲点，如马鞍面）；$K=0$ 至少一个主曲率为零（抛物点，如圆柱面）。

Gauss 映射把 $p$ 附近的小区域 $R$ 映到单位球面上的 $N(R)$。两区域面积之比在 $p$ 点的极限为

这个解释给出 $K$ 一个不依赖坐标的读法：**单位法向方向球在局部放大了多少倍**。球面处 $K=1/R^2$ 意味着法向量与曲面本身同向收缩；马鞍面处 $K<0$，Gauss 映射把定向反转（像区域与原区域定向相反）。

设 $\alpha(t)$ 是曲面 $S$ 上的曲线，$\mathbf{v}(t)$ 是沿 $\alpha$ 的切向量场（$\mathbf{v}(t)\in T_{\alpha(t)}S$）。在环境空间 $\mathbb{R}^3$ 中它有普通导数 $\mathrm{D}_t\mathbf{v}=\mathrm{d}\mathbf{v}/\mathrm{d}t$。

为什么不能直接用 $\mathrm{D}_t\mathbf{v}$？因为 $\mathbf{v}(t)\in T_{\alpha(t)}S$，但 $\mathrm{D}_t\mathbf{v}$ 一般有法向分量（曲面本身在弯），它不在任何一个切空间里。投影掉法向部分，剩下的才是切向量之间可比较的变化率。

坐标基向量 $X_i$ 沿坐标方向的协变导数仍在切空间内，故可在 $\{X_1,X_2\}$ 下展开：

推导思路。对 $g_{ij}=X_i\cdot X_j$ 求导并作循环求和：$\partial_i g_{jk}+\partial_j g_{ik}-\partial_k g_{ij}=2X_{i,j}\cdot X_k=2\Gamma^l_{ij}g_{lk}$。解出 $\Gamma^l_{ij}$ 即 (6.3)。

无挠性（torsion-free）：坐标基偏导可交换 $X_{i,j}=X_{j,i}$，故

(6.3) 表明 $\Gamma^k_{ij}$ 只由度量系数 $E,F,G$ 及其一阶导数决定，完全不出现 $e,f,g$。这是一个关键事实：协变导数是内蕴的。贴在曲面上的二维生物，仅凭测量长度（即 $g$）就能写下 $\Gamma$，从而在自己的曲面上谈"向量怎么变"——他不需要知道曲面在 $\mathbb{R}^3$ 中如何嵌入。

下一讲用 $\nabla_t\gamma'=0$ 定义测地线（曲面上的"直线"），其方程正是 $\Gamma$ 给出的二阶 ODE；第 8 讲将看到，把 $\nabla$ 的不对易性度量出来得到曲率 $K$，而 $K$ 同样只由 $g$ 决定。

平面上的直线特征是加速度为零：质点以恒定速度直行。曲面上没有直线，上一讲的协变导数给出正确的推广。

设 $\gamma(t)=X(u(t),v(t))$，坐标记作 $u^1=u$，$u^2=v$。切向量展开为

局部最短。在 $p$ 点附近足够小的范围内，连接两端点的曲线中测地线长度最短。这与平面上直线段最短一致。但全局上，测地线未必最短：球面上过同一直径两端的两条半圆都是测地线，只有较短的那段最短。

存在唯一性。(7.2) 是二阶 ODE 组，对初值 $(u_0,v_0,u'_0,v'_0)$ 有唯一解。几何地说：过每一点 $p$、沿每一个切方向 $\mathbf{v}\in T_pS$，存在唯一一条测地线。把初速度 $\mathbf{v}$ 与走过的时间 $t$ 合起来，定义指数映射 $\exp_p(\mathbf{v})=\gamma_{\mathbf{v}}(1)$——它把切平面的一个小圆盘映到曲面附近，是第 24 讲的核心工具。

测地线由纯内蕴数据 $g$ 定义与求解，它不离开曲面。下一讲将问：相邻测地线是如何会聚或发散的？答案藏在曲率里——把协变导数的不对易性度量出来，得到的就是 Gauss 曲率，而它只依赖 $g$。

第 5 讲把 Gauss 曲率定义为形状算子的行列式：

Gauss 的回答是：把 $e,f,g$ 从公式中消去，$K$ 可以完全用 $E,F,G$ 及其一阶、二阶偏导表达。在正交坐标 $F=0$ 下，公式特别简洁：

这意味着等距映射（保持 $E,F,G$ 的映射）保持 $K$。卷一张平面成圆柱：平面 $K=0$，圆柱也必 $K=0$——尽管它在 $\mathbb{R}^3$ 中看起来是弯的。

绝妙定理给出一个不依赖嵌入的判据：$K=0$ 当且仅当曲面可以不拉伸地展开成平面。纸卷成筒、折成圆锥都是 $K=0$ 的变形；而球面 $K=1/R^2\neq 0$，无论怎么卷都无法由平面不拉伸地拼成——这就是世界地图任何平面投影必有失真的根源。以圆柱为例，展开是等距变换：

注意平均曲率 $H$ 不内蕴：平面 $H=0$，卷成圆柱后 $H=1/(2R)$。$K$ 内蕴、$H$ 外蕴，二者性质截然不同。

取从 $p$ 点出发的测地极坐标 $(r,\theta)$：$r$ 为到 $p$ 的测地距离，$\theta$ 为方向角。此坐标下度量可写成

从 $p$ 点出发，沿每个方向走测地线，用走过的距离 $r$ 与方向角 $\theta$ 作坐标。第 8 讲已导出此坐标下度量为

若曲面常曲率 $K=K_0$，方程 (9.1) 退化为一维 ODE $(\sqrt G)_{rr}=-K_0\sqrt G$，配初条件有唯一解：

平面：周长按 $2\pi r$ 线性增长。球面：$\sin(r/R)$ 在 $r=\pi R$ 处收缩为零（对径点）。双曲面：$\sinh(r/R)$ 指数增长，测地圆周长比平面长得多。三种解可统一写成 Jacobi 函数 $s_{K_0}(t)$：

三种几何的根本差别在测地三角形内角和：

这是绝妙定理的加强：既然 $K$ 是 $g$ 的函数，同一 $K$ 意味着局部度量结构相同。球面（任意半径）局部都是球几何；$K=0$ 的曲面都是平面几何；$K<0$ 的曲面都是双曲几何。

下一讲 Gauss–Bonnet 把局部的 $K$ 积分与整体拓扑联系起来：常曲率曲面的总曲率由它的 Euler 示性数决定。

曲面上曲线 $\gamma(s)$（单位速率）的环境加速度 $\gamma''$ 可分解为切向与法向：

三者关系：曲线的环境总曲率 $\kappa$ 满足

考虑曲面上一个测地三角形 $T$（三边皆为测地线），三内角为 $\alpha,\beta,\gamma$。

这把第 9 讲三种几何的内角和差异定量化了：平面 $K=0$ 内角和恰为 $\pi$；球面 $K>0$ 角超为正；双曲 $K<0$ 角亏为负。对 $n$ 边测地多边形，公式推广为

把曲面三角剖分成 $F$ 个测地三角形，顶点数 $V$、边数 $E$。对每个三角形用 (10.1)，把所有角超相加：

推导：每个三角形贡献角超 $\alpha_i+\beta_i+\gamma_i-\pi$。所有内角加总 $=2\pi V$（绕每个顶点一周）；三角形数 $F$ 贡献 $-\pi F$；每条边属于两个三角形，故边数与三角形数关系 $3F=2E$。合起来

对带边界 $\partial S$ 的区域，GB 一般化为

特别地，对平面上一条逐段光滑闭曲线，$K=0$，GB 退化为旋转指标定理：

第一篇从平面曲线（第 1 讲）出发，经过空间曲线（第 2 讲）、曲面的第一与第二基本形式（第 3、4 讲）、Gauss 映射（第 5 讲）、协变导数（第 6 讲）、测地线（第 7 讲）、绝妙定理（第 8 讲）、常曲率模型（第 9 讲），到达 Gauss–Bonnet。一条主线贯穿始终：内蕴几何从度量出发，经由联络与曲率，最终与拓扑相连。

下一篇进入光滑流形：我们将摆脱 $\mathbb{R}^3$ 的束缚，把度量、联络、曲率、Gauss–Bonnet 推广到任意维数的弯曲空间，为广义相对论与现代几何打下语言基础。